Внимание! cool-diplom.ru не продает дипломы, аттестаты об образовании и иные документы об образовании. Все услуги на сайте предоставляются исключительно в рамках законодательства РФ.
Значение кредитов банка как дополнительного источника финансировани я коммерческой де я тельности особенно про я вл я етс я на стадии становлени я предпри я ти я , которое использует кредитные ресурсы
Направления деятельности МГТС многочисленны, потенциал развития велик, финансовое состояние стабильно. Можно смело говорить что, что в XXI век Москва войдет с развитой высокотехнологичной инфраструкту
Высота - лишь одна из характеристик пирамиды. 137-метровая громада (раньше она достигала 147 метров, но вершина пирамиды обвалилась) сложена из 2 300 000 тщательно обработанных глыб известняка, каждая
Появляются первые зачат ки капиталистической промышленности в форме мануфактуры; Развивается банковское дело, международная торговля. Зарожда ется современное экспериментальное естествознание. Форми
Точной верхней границы земной атмосферы указать нельзя, так как плотность воздуха непрерывно убывает с высотой. Приближаясь к плотности вещества, заполняющего межпланетное пространство. Следы атмосфе
Сканирование, набор и компьютерная вёрстка - Бабицкий Мирослав. В результате нескольких экскурсий была сделана выборка из 20 характерных для нескольких ярусов лиственного и смешанного леса видов насек
Выполнил студент группы 4065/2 Жаворонков С. В. Санкт-Петербург 2002 Оглавление. 1. Введение…………………………………………………………….3 2. Доменное производство………………………………………….6 3. Доменный процесс………………………………………………..
Основная часть 1. Античная механика По мере накопления знаний о мире задача их систематизации становилась всё более насущной. Эта задача была выполнена одним из величайших мыслителей древности — Арист
Рассмотрены несколько примеров на тему.
Содержание. 1. Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами…………………….…….…………..4 2. Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами..…………………………………………6 Примечания………………………………………………...…………………..7 Примеры………………………………………………………………….…….8 1. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений = F(t)z (- где F(t) — непрерывная периодическая матрица с периодом w: F(t + w) = F(t). Пусть z 1 (t), …, z n (t) — фундаментальная система решений для системы уравнений (1), определяемая начальными условиями z j (0) = e j (j = 1, …,n), (2)
Последние соотношения можно записать в виде Z(t + w) = Z(t)C, (3) где Z(t) — фундаментальная матрица решений z j (t) (j = 1, …, n), а С = (с j k ) — постоянная матрица. В силу (1) и (2) матрица Z(t) удовлетворяет условиям = F(t)Z, Z(0) = E. Полагая в равенстве (3) t = 0, получим Z(w) = C. Таким образом, Z(t + w) = Z(t)Z(w). (4) Матрица Z(w) называется матрицей монодромии системы уравнений (1). Очевидно Z(w) ¹ 0. Собственные значения матрицы Z(w) называются мультипликаторами системы уравнений (1). Отметим, что если матрица F(t) действительная, то матрица монодромии также действительная, однако мультипликаторы будут, вообще говоря, комплексными числами.
Теорема 1. Для того чтобы комплексное число r было мультипликатором системы уравнений (1), необходимо и достаточно, чтобы существовало такое нетривиальное решение j(t) системы (1), для которого j(t + w) = rj(t). (5) Доказательство. Пусть r — мультипликатор системы уравнений (1), тогда существует такой вектор z 0 ¹ 0, что Z(w)z 0 = rz 0 . Рассмотрим следующее нетривиальное решение системы уравнений (1): j(t) = Z(t)z 0 . В силу (4) j(t + w) = Z(t + w)z 0 = Z(t)Z(w)z 0 = Z(t)rz 0 = rZ(t)z 0 = rj(t). Необходимость условия сформулированного в теореме, доказана.
Докажем достаточность. Из соотношения (5) при t = получим j(w) = rj(0). (6) В силу теоремы единственности j(t) = Z(t) j(0), (7) причем j(0) ¹ 0, так как в противном случае решение j(t) было бы тривиальным. Из равенства (7) в силу (6) следует то, что Z(w)j(0) = j(w) = rj(0). Таким образом, j(0) — собственный вектор матрицы Z( ), а — мультипликатор системы уравнений (1). Теорема доказана. Из доказанной теоремы непосредственно вытекает Следствие.
Линейная однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное решение с периодом в том и только в том случае, когда один из ее мультипликаторов равен единице.
Замечания. 1. Имеет место Теорема Флоке.
Фундаментальная матрица Z(t) допускает следующее представление: Z(t) = Ф(t)e At [1] , где Ф(t) — периодическая матрица с периодом , а А — постоянная матрица.
Поэтому Z(w) - E ¹ 0 (характеристическое уравнение Z(w) - E = 0 не имеет корня = 1) и система уравнений (13) однозначно разрешима отностильно z 0 . Теорема доказана.
Замечание. В случае, когда однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное периодическое решение с периодом , линейная неоднородная система уравнений (8) может или вообще не иметь периодических решений с периодом (если система уравнений (13) несовместна), или иметь несколько линейно независимых периодических решений с периодом (если система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений). Примечания: 1. d j 1 = {1;0; …;0}, …, d j n = {0;0; …;1}. 2. Любое решение x(t) однородной системы уравнений есть линейная комбинация решений фундаментальной системы решений x 1 (t), …,x n (t). 3. Все выводы получаются следующим образом: из = F(t)Z и Z(t) = Ф(t)e At следует то, что, подставляя второе выражение в первое, получим Примеры: Теперь рассмотрим несколько примеров на применение рассмотренных в докладе теорем и следствий к ним: Пример 1: Показать, что линейное уравнение второго порядка где f(t) — непрерывная периодическая функция с периодом , имеет единственное периодическое решение с периодом , если Решение.
Сведем дифференциальное уравнение к системе и применем теорему 2: 1. Имеем 2. Для применения теоремы 2 нам необходимо составить матрицу монодромии однородной системы и все собственные значения этой матрицы должны быть отличны от единицы; для начала найдем фундаментальную матрицу для однородной системы, соответствующей неоднородной системе (*): 3. Находим мультипликаторы однородной системы: Итак, если все мультипликаторы системы уравнений (**) отличны от единицы.Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. Из этого следует, что система (*),а значит и исходное дифференциальное уравнение, имеет единственное периодическое решение с периодом . Задача решена.
Пример 2: Показать, что линейное уравнение второго порядка при a 2 k/ (k R) имеет единственное периодическое решение с периодом (см. пример 1); при a=±2 / не имеет периодических решений с периодом , а при a=2 k/ (k — любое целое число, не равное ±1 и 0) все его решения — периодические с периодом . Решение.
Очевидно, что здесь необходимо воспользоваться теоремой 2 и замечанием к ней.
Решение данного примера необходимо разбить на 3 части (для каждого из условий). Поскольку при нахождении матрицы монодромии в предыдущем примере мы свободный член исходного дифференциального уравнения не использовали и учитывая одинаковые правые части дифференциальных уравнений обоих примеров, можно будет сразу воспользоваться некоторыми выкладками примера 1.